Pythonで変数を用いた固有値計算

固有値や固有ベクトルの計算では、変数(代数)を含んだ状態で計算したくなることがあります。Pythonを用いて変数を用いた固有値、固有ベクトルの計算するコードを作成しました。

計算に用いる行列式
コード概要
1. 数値の場合
2. 変数を用いた場合
変数を用いるメリット

計算に用いる行列式

以下のような2×2の$\tilde{\varepsilon}$の行列に対して固有値$\lambda$と固有ベクトル$\left(
\begin{array}{cc}
E_{x} \\
E_{y}
\end{array}
\right)$を求める場合を例に説明します。

$$
\left(
\begin{array}{cc}
\varepsilon_{xx} & \varepsilon_{xy} \\
-\varepsilon_{xy} & \varepsilon_{xx}
\end{array}
\right)\left(
\begin{array}{cc}
E_{x} \\
E_{y}
\end{array}
\right)=\lambda \left(
\begin{array}{cc}
E_{x} \\
E_{y}
\end{array}
\right)
$$

コード概要

Sympyライブラリを用いて固有値と固有ベクトルの計算を行いました。変数をSymbolとして設定すれば、数値の場合と同様に簡単に固有値・固有ベクトルを求めることができます。

数値の場合

$$
\tilde{\varepsilon}=\left(
\begin{array}{cc}
0 &2 \\
1 & 4
\end{array}
\right)$$

のとき、以下のように固有値と固有ベクトルが求まります。例えば固有値は$2\pm\sqrt{6}$となります。

from sympy import *
epsilon = Matrix([[0, 2], [1, 4]])
print(list(epsilon.eigenvals().keys()))#固有値を求める
#[2 - sqrt(6), 2 + sqrt(6)]
print([list(tup[2][0]) for tup in epsilon.eigenvects()] ) #固有ベクトルを求める
#[[-sqrt(6) - 2, 1], [-2 + sqrt(6), 1]]

変数を用いた場合

$\tilde{\varepsilon}$の変数をそのまま用いる場合、最初に変数を宣言します。

e_xx,e_xy = symbols("e_xx e_xy ")
epsilon=Matrix([[e_xx, e_xy],
                  [-e_xy, e_xx]])
print(list(epsilon.eigenvals().keys()))#固有値を求める
#[e_xx - I*e_xy, e_xx + I*e_xy]
print([list(simplify(tup[2][0])) for tup in epsilon.eigenvects()] )  #固有ベクトルを求める。simplifyで数式整理。
#[[I, 1], [-I, 1]]